38-я Балканская математическая олимпиада. 2021 год

Найдите все функций $f: (0, +\infty)\to (0, +\infty)$ такие, что $f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$ справедливо для всех $x,y \in (0, +\infty)$.

Комментарий/решение

Решение (поверхностное): Пусть $P(x,y)$ данное равенство.

$(1)$ Из $P(x,a)-P(x,b)$ легко следует, что $f$ - инъективная.

$(2)$ Из $P(1,x)$ следует, что $f$ сюръективна на луче $(2f(1);+\infty)$

$(3)$ Из $P(x,2f(y))-P(y,2f(x))$ и $(1)$ следует, что $f(2f(x))-f(x)-x=C=const.$

$(4)$ Из $P(x,y)$ и $(3), (2)$ получаем, что $f(f(t)+f(y)-C)=t+y,$ для любого $t>4f(1)$ и $y>0.$

Отсюда выводим, что

$$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=f\left(\dfrac{a+b}{2}\right), \forall a,b > 4f(1).$$

$(5)$ Из этого $f(x)=\alpha\cdot x + \beta, \forall x>4f(1).$

Заметим, что $P(1,1): f(A)=A=2f(1)+1.$ Из $P(A,y):$

$$(6)\quad f(y+A)=f(y)+A.$$

Следовательно $\alpha = 1.$ Дальше просто рассматриваем $P(x,y)$ для достаточно большого $x>4f(1):$

$$2x+2\beta+f(y)=2x+2\beta+y\implies f(y)\equiv y.\square$$

Пусть $P(x,y)$ - данное равенство.

$P(x,x)\rightarrow f(x+2f(x))=x+2f(x)$

$P(x,x+2f(x))\rightarrow f(2x+3f(x))=x+4f(x)$

$P(x,2x+3f(x))\rightarrow f(2x+5f(x))=2x+5f(x)$

$P(x+2f(x),x)\rightarrow f(2x+5f(x))=3x+4f(x)$

Совмещая 2 последних тождества получаем

$2x+5f(x)=3x+4f(x)\Leftrightarrow f(x)=x$

, что удовлетворяет данному равенству