Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Пусть $S = \{ 1,\;2, \dots ,\;n\}$. Докажите, что количество всевозможных троек множеств $(A, B, C)$ таких, что $\varnothing \subseteq A \subseteq B \subseteq C \subseteq S$ и $\left| B \right| = \frac{{\left| A \right| + \left| C \right|}}{2}$, равно $C_{2n}^n$. (Здесь $|X|$ означает количество элементов во множестве $X$, а $C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{n!n!}$).