Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс


Найдите все функции $f:\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0$, удовлетворяющие уравнению $f(3x + 2y) = f(x)f(y)$, для всех $x, y \in \mathbb{N}_0$. (Запись $f:\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0$ означает, что функция $f$ определена на всем множестве неотрицательных целых чисел, и все значения функции $f$ являются неотрицательными целыми числами).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2016-12-27 22:08:21.0 #

Пусть $x,y $ равны нулю, тогда $f (0)=f (0)f(0) =f (0)^2$, откуда $f (0)=0$ или $f (0)=1$. $f (2)=f (0)f (1) =f (1) $; $f (3)=f (1)f (0)=f (1) $;$f (4)=f (2)f (0)=f (2)=f (1) $; $f (8)=f (0)f (4)=f (2)f (1) $, откуда $f (1)=1$. Делаем вывод, что $f (x)=1$

Ответ :$f (x)=1$

  2
2019-01-12 18:09:23.0 #

Есть же решение например: $f(x)=0$.