Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0$, удовлетворяющие уравнению $f(3x + 2y) = f(x)f(y)$, для всех $x, y \in \mathbb{N}_0$. (Запись $f:\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0$ означает, что функция $f$ определена на всем множестве неотрицательных целых чисел, и все значения функции $f$ являются неотрицательными целыми числами).

Комментарий/решение

Пусть $x,y $ равны нулю, тогда $f (0)=f (0)f(0) =f (0)^2$, откуда $f (0)=0$ или $f (0)=1$. $f (2)=f (0)f (1) =f (1) $; $f (3)=f (1)f (0)=f (1) $;$f (4)=f (2)f (0)=f (2)=f (1) $; $f (8)=f (0)f (4)=f (2)f (1) $, откуда $f (1)=1$. Делаем вывод, что $f (x)=1$

Ответ :$f (x)=1$

Есть же решение например: $f(x)=0$.

$Ответ:$ $f(x)=0$; $f(x)=1$; $f(x): = x=0,$ $1$ И если $x$ натуральное, $0$

$P(0;0): $ $f(0)=f(0)^2$

$I)$ $ f(0)=0$. $P(k,0): f(2k)=0$, $P(0,k):f(3k)=0$. $P(3,2):f(13)=0$, $P((1,5):f(13)=f(1)f(5)$ и $P(1,1): f(5)=f(1)^2$. Значит $0=f(13)=f(1)^3, f(1)=0$. Далее $P(1,3k-1): f(6k+1)=0$ и $P(2k+1,1):f(6k+5)=0$. Я показал что для любого $x$: $f(x)=0$.

$II)f(0)=1$. С помощью $P(1,5)$ и $P(3,2)$: $f(1)^2=f(1)^3$.

$i)f(1)=0$. Очевидно что $f(3)=f(2)=0$. Заметим что $f(2k+1)=f(k-1)f(1)=0$. Так как $f(2k)=f(k)f(0)=f(k)$, $f(2^lk)=f(k)=0$, где $l$ любое натуральное число, и $k$ нечётное( очевидно что в таком виде можно представить любое чётное число). Из этого выходит что для любого натурального $x$: $f(x)=0$.

$ii)f(1)=1$. Заметим что $f(3x)=f(2x)=f(x)$. Тогда $f(2k+1)=f(6k+3)=f(3k)f(1)=f(3k)=f(2k)=f(k)=f(2k+3)$. Из этого выходит что $f(2k+1)=f(2k)=f(2k-1)$. Далее легко понять что для любого $x$: $f(x)=1$