XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2021 год

Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ удовлетворяют условиям $x^2+y^2=z^2+t^2$, $xy=2zt$. Докажите, что $xyzt=0$. ( М. Абдувалиев )

Комментарий/решение

Решение: Можно заменить $(x,y,z,t)\to (|x|,|y|,|z|,|t|),$ поэтому можем считать, что $x,y,z,t\ge 0.$ От обратного, пусть $xyzt\neq 0,$ откуда $x,y,z,t>0.$

Рассмотрим четверку с минимальной суммой, тогда $\text{НОД}(x,y,z,t)=1$, иначе делением на этот НОД можно уменьшить сумму четверки.

Заметим, что $2\mid xy,$ поэтому можем считать, что $x=2x_1\implies x_1y=zt$

$$\implies \dfrac{x_1}{z}=\dfrac{t}{y}=\dfrac{\alpha}{\beta}-\text{несократимая дробь, то есть}\ (\alpha,\beta)=1;\alpha,\beta\in\mathbb N,$$

тогда $\exists A,B\in\mathbb N,$ что

$$x_1=A\alpha ,\ t=B\alpha,$$

$$z=A\beta ,\ y=B\beta.$$

Заметим, что $(z,t)=1,$ иначе для некоторого простого $p$

$$p\mid z,t\implies p\mid xy\ \ \text{и}\ \ p\mid x^2+y^2\implies p\mid x,y.$$

Аналогично $(x_1,y)=1.$

Тогда $A,B,\alpha,\beta$ попарно взаимно простые числа. Подставив эти равенства в условие получим

$$3A^2\alpha^2=(A^2-B^2)(\beta^2-\alpha^2),$$

но поскольку $(A^2,A^2-B^2)=(\alpha^2,\beta^2-\alpha^2)=1,$ то $\exists M,N\in\mathbb Z,$ что

$$A^2-B^2=M\alpha^2,\ \beta^2-\alpha^2=NA^2\ \text{и}\ MN=3.$$

Случай 1: Если $(M,N)=(1,3),$ то

$$(2A)^2=B^2+\beta^2,$$

а если $(M,N)=(-3,-1),$ то

$$(2\alpha)^2=B^2+\beta^2,$$

в обоих случаях $2\mid B$ и $2\mid\beta$, но $(B,\beta)=1$.

Случай 2: Достаточно разобрать случай $(M,N)=(3,1),$ так как случай $(M,N)=(-1,-3)$ разбирается аналогично. Получаем, что

$$A^2=B^2+3\alpha^2,$$

$$\beta^2=\alpha^2+A^2.$$

Просуммируем эти два равенства

$$\beta^2=B^2+(2\alpha)^2.$$

Значит у нас есть две примитивные Пифагоровы тройки $(\beta,B,2\alpha)$ и $(\beta,A,\alpha),$ откуда

$$(1)\quad \exists w,v\in\mathbb N,\ w>v,\ (w,v)=1,\ 2\mid wv:$$

$$\beta=w^2+v^2,\ B=w^2-v^2,\ 2\alpha=2wv$$

$$\implies \alpha=wv\ \vdots\ 2;$$

$$(2)\quad \exists p,q\in\mathbb N,\ p>q,\ (p,q)=1,\ 2\mid pq:$$

$$\beta=p^2+q^2,A=p^2-q^2,\alpha=2pq;\ $$

$$\text{Из}\ (1)\ \text{и}\ (2)\implies \beta=w^2+v^2=p^2+q^2,\ \alpha=wv=2pq. $$

Тогда четверка $(w,v,p,q)$ удовлетворяет искомым свойствам, при этом

$$2(w+v)+2(p+q)\le (w+v)^2+(p+q)^2= (\beta+2\alpha)+(\beta+\alpha)<$$

$$<3(\alpha+\beta)<2(A+B)(\alpha+\beta)=2(x_1+y+z+t)<2(x+y+z+t)$$

$$\implies w+v+p+q<x+y+z+t,$$

что противоречит тому, что сумма $x+y+z+t$ минимально возможная.

Следовательно предположение $xyzt\neq 0$ неверное, откуда $xyzt=0.\quad\square$