Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Ответ: $f\equiv 1.$
Решение: Пусть $P(x,y)$ обозначает равенство из условия. Докажем следующую лемму:
Лемма: Если $f(a)=f(b),$ то $f(ap+q)=f(bp+q)$ для любых $p>0,q\ge 0.$
Д-во: Из разности $P(p,a)$ и $P(p,b)$ следует, что $f(ap)=f(bp).$
А из разности $P(a,1)$ и $P(b,1)$ получаем равенство $f(a+f(1))=f(b+f(1)),$ тогда
$$f(ax)=f(bx)\implies f(ax+f(1))=f(bx+f(1))$$
$$\implies f((ax+f(1))y)=f((bx+f(1))y)\implies f(ap+q)=f(bp+q)\ \forall p,q>0.$$
Последнее равенство можно получить из предыдущего подстановкой $x=pf(1)/q$ и $y=q/f(1).\quad\blacksquare$
Из разности $P(1,1)$ и $P(1,1+f(1))$ получаем, что $f(1)=f(1+t),$ где $t=f(1+f(1)).$
Утверждение: Для любого натурального $n$ и $x\in[1;1+tn]$ верно равенство $f(1)=f(x).$ Из этого следует, что $f(1)=f(x)\ \forall x\ge 1.$
Д-во: Рассмотрим в лемме: $\forall p\in (0;1),$ $q=1-p,$ $a=1,$ $b=1+t:$
$$f(1)=f(p\cdot 1+q)=f(p\cdot(1+t)+q)=f(1+pt),$$
откуда утверждение верно для $n=1.$ Рассмотрим $p=1$ и $q=t,$ тогда
$$f(1)=f(1+t)=f(x+t),\ \forall x\in [1;1+t].$$
Следовательно утверждение верно для $n=2.$
Аналогично при помощи индукции получаем, что утверждение верно для любого натурального $n.\quad\blacksquare$
$\\$
Мы получили, что $f(1)=f(x)\ \forall x\ge 1\implies f\left(1\cdot \dfrac{1}{x}\right)=f\left(x\cdot \dfrac{1}{x}\right)=f(1),$ значит $f(1)=f(x)\ \forall x\le 1.$
Значит $f\equiv c,$ подставив находим, что $c=1.\quad\square$
$f(xy)=f(x)^2-f(x+f(y))+1 < f(x)^2+1$
Поэтому $f$ ограничена сверху. Обозначим $s=\sup f(\mathbb{R}^+)$.
Тогда $f(xy) = f(x)^2-f(x+f(y))+1 \ge f(x)^2-s+1$. Взяв $f(x) \rightarrow s$ и подставив $\frac{y}{x}$ вместо $y$ получим $s \ge f(y) \ge s^2-s+1 \ge s$ для любого $y$.
Следовательно $s=1$ и $f \equiv 1$
Подробнее будет так: Сущ. (из определения $s$) последовательность $\{x_i\}_{i\ge 1},$ что $\lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=s.$ Подставим
$P(x_i,\dfrac{x}{x_i}):\ f(x)\ge f(x_i)^2-s+1\implies s\ge f(x)\ge \lim\limits_{i\to\infty}(f(x_i)^2-s+1)=s^2-s+1.\quad\square$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.