Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ нашлась такая точка $D$, что $BC=DC$. Пусть $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABD$. Докажите, что одна из касательных из точки $J$ ко вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельна прямой $BD$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть параллель из $J$ к прямой $BD$ пересекает $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Заметим, что тогда

$$\angle MJB=\angle JBD=\angle JBM,$$

следовательно $BM=MJ.$ Аналогично $BC=DC.$ Откуда получаем, что

$$BC+MN=DC+MN=DC+(BM+DN)=BM+CN,$$

следовательно в $CBMN$ можно вписать окружность $\omega.$ Заметим, что $\omega$ касается сторон $\triangle ABC.$ Значит $\omega$ его вписанная окружность, откуда следует требуемое, так как $MN$ касается $\omega.$