Областная олимпиада по математике, 2021 год, 11 класс

Дан остроугольный треугольник $ABC,$ в котором $\angle B < \angle C.$ Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается стороны $BC$ в точке $D,$ и $AO$ параллельна $HD.$ Точка $E$ — точка пересечения прямых $OD$ и $AH,$ точка $F$ — середина отрезка $CI.$ Докажите, что точки $I,$ $O,$ $E$ и $F$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Лемма 1: Отражения ортоцентра $H$ относительно середины стороны $BC$ и основания высоты из $A$ - $H_1$ и $H_2$, соответственно, принадлежат $(ABC)$, причем $AH_1$ является диаметром $(ABC)$ и оба отрезка $HH_1, HH_2$ делятся $BC$ пополам.

Лемма 3: Обозначения те же, что и в Лемме 2. Если $AT \cap BC = L$, то $L$ - точка касания вневписанной окружности $\Leftrightarrow BL = DC$

Лемма 4: $AH$ и $AO$ - изогонально сопряжены $\Leftrightarrow \angle BAO = \angle HAC$

Домашнее задание от Тайлера Дердена: докажите эти леммы самостоятельно.

Пусть $AH \cap (ABC) = E'$:

Тогда из Леммы 1, $E'$ симметрична $H$ относительно $BC$, а значит $\angle E'CB = \angle HCB$

Пусть $OE' \cap BC = D'$:

$OE' = OA \Rightarrow \angle OE'H = \angle OAE' = \angle D'HE' = \angle D'E'H$ из чего в купе с Леммой 1 следует, что $D' = D \Rightarrow E' = E$ $(1)$

Пусть теперь $AO \cap (ABC) = A', DT$ - диаметр вписанной, $AT \cap BC = L$, $M$ - середина $BC$:

Из Леммы 1: $A'M = MH$, с другой стороны, по Лемме 3, $LM = MD$, из чего следует, что $LA'HD$ - параллелограмм, а значит, по условию, $AO$ совпадает с $AL$.

Заметим теперь, что $ON \parallel TD$, с другой стороны, если $AL \cap BC = L'$, то $ON$ - средняя линяя $\triangle L'TD$, а значит $ON = \frac{1}{2}TD = ID$, значит $OIDN$ - параллелограмм (а именно, прямоугольник) $\Leftrightarrow OI \parallel BC$

Пусть $\alpha = \angle LAE = \angle OEH = \angle DHE = \angle DEA$, а $\angle C = 2\beta \Leftrightarrow \angle EAC = 90 - 2\beta = \angle BAO$ (по Лемме 4)

Из этого следует, что $\angle EOI = \angle DOI = 90 - \angle ODI = 90 - \alpha$

Заметим, что $\angle DEC = \angle DEA + \angle AEC = \alpha + 180 - 2(90-2\beta) - \alpha - 2\beta = \alpha + 2\beta - \alpha = 2\beta$, а т.к $DF$ - медиана в прямоугольном $\triangle IDC$, $\angle DFC = 180 - 2\angle FCD = 180 - 2\beta$, то $DFCE$ - вписан, откуда, $\angle EFC = \angle EDC = \angle DOI = 90 - \alpha = \angle EOF$, откуда и следует требуемое. $\square$

Первое правило мат клуба

Не говорить про Лемму 2

мопсичек зверь, удивился когда увидел твоё фио в результатах 11 класса с отрывом в 14 баллов

братан, говорить что я взял 15 баллов это такой стыд

Я ставлю этому решению столько же баллов, сколько у меня на Респе 2022.