Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс


Пусть $a,$ $b,$ $c$ — положительные целые числа такие, что $20a^2 +21b^2 = 20a +21b.$ Найдите наименьшее значение выражения \[A = \sqrt {\frac{a}{{b(20a + 21)}}} + \sqrt {\frac{b}{{a(20 + 21b)}}} .\]
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
2021-02-24 21:21:07.0 #

По неравенству Гёльдера для 3 скобок получаем, что A^2*(a^2*b(20a+21)+b^2*a(20+21b))>=(a+b)^3, ===> A^2>=(a+b)^3/(ab(20a^2+21b^2+21a+20b))=(a+b)^3/(ab*(20a+21b+21a+20b))=(a+b)^3/((ab*41(a+b))=(a+b)^2/(41ab).

По неравенству Коши имеем, что (a+b)^2>=4ab, ===> A^2>=(a+b)^2/(41ab)>=4ab/41ab=4/41, ===> A=>sqrt(4/41).

Пример: как легко проверить, числа a=b=1 удовлетворяют условие, причем A=sqrt(4/41)

пред. Правка 2   1
2021-02-25 01:04:42.0 #

$\LaTeX$ версия вашего поста:

По неравенству Гёльдера для 3 скобок получаем, что

$$A^2\cdot\bigg(a^2\cdot b(20a+21)+b^2\cdot a(20+21b)\bigg)\ge (a+b)^3,$$

$$A^2\ge\dfrac{ (a+b)^3 } { ab(20a^2+21b^2+21a+20b)} =\dfrac{(a+b)^3}{ab\cdot (20a+21b+21a+20b)}$$

$$=\dfrac{(a+b)^3}{ab\cdot 41(a+b)}=\dfrac{(a+b)^2}{41ab}.$$

По неравенству Коши имеем, что

$$(a+b)^2\ge 4ab\implies A^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{41ab}\ge \dfrac{4ab}{41ab}=\dfrac{4}{41}\implies A\ge \sqrt{\dfrac{4}{41}}$$

Пример: как легко проверить, числа $a=b=1$ удовлетворяют условие, причем $A=\sqrt{\dfrac{4}{41}}$

  0
2021-02-25 13:13:50.0 #

Благодарю

  1
2021-02-24 21:29:02.0 #

no needs for Gelder

если целое и положительное, то равносильно что a>=1 (не включая 0) что и есть a^2=>a

so 20a+21b=20a^2+21b^2 только тогда когда a=b=1

ответ 2sqrt1/41

  0
2021-02-25 00:25:09.0 #

Там опечатка в условии, a и b относятся к действительным числам

  1
2021-02-25 00:26:07.0 #

ну опечатка и опечатка, что бубнить то ;))

пред. Правка 2   2
2021-04-05 23:25:24.0 #

шучу, согласен, задача пропадает.

  2
2021-02-25 13:18:51.0 #

По Коши-Б

$$(20a^2+21b^2)(20+21) \ge (20a + 21b)^2,$$

по условию $20 a^2 + 21 b^2 = 20 a + 21 b$, следовательно

$$41\ge 20a + 21b.$$

Заметим, что

$$41=\frac{(20a+21)+(20+21b)}{2} \ge \sqrt{(20a+21)(20+21b)}.$$

По Коши

$$\sqrt{\frac{a}{b(20a+21)}} + \sqrt{\frac{b}{a(20+21b)}} \ge \frac{2}{\sqrt[4]{(20+21b)(20a+21)}},$$

а из предыдущего неравнства

$$\frac{2}{\sqrt[4]{(20+21b)(20a+21)}} \ge \frac{2}{\sqrt{41}}.$$

Равенство достигается при $a=b=1$.