Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $125 \cdot 2^x-3^y=271.$

Комментарий/решение

Рассмотрим остатки mod 25

$$-3^y\equiv 271 \equiv -4 \mod{25}$$

откуда следует, что $y \equiv 6 \mod{20}$. Так как $y \ge 6$, если рассмотреть исходное по mod 27, то будет

$$125 \cdot 2^x \equiv 1 \mod{27}$$

или

$$2^x \equiv 8 \mod{27}$$

откуда,

$$x \equiv 3 \mod{18}.$$

Рассмотрим теперь по mod 19,

$$125 \cdot 2^x - 3^y \equiv 5 \mod{19}$$

так как $\varphi(19)=18$, то

$$125 \cdot 2^3 - 3^y \equiv 5 \mod{19}$$

откуда

$$3^y \equiv 7 \mod{19}$$

что возможно только при $y \equiv 6 \mod{18}$. Получается $x$, $y$ кратны 3, введем замену, $x = 3m, ~y = 3n$:

$$5^3 \cdot 2^{3m} - 3^{3n} = 271.$$

По ФСУ разности кубов

$$(5 \cdot 2^{m} - 3^{n})(25 \cdot 2^{2m} +5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} +3^{2n})= 271.$$

Левая скобка меньше правой и 271 простое поэтому

$$ \begin{cases} 5 \cdot 2^{m} - 3^{n} = 1 \\ 25 \cdot 2^{2m} +5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} +3^{2n}= 271 \end{cases}$$

Тогда, $271 - 1^2 = 3 \cdot (5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} )=270$. Очевидно, что $m=1$, $n=2$ откуда $x=3$, $y=6$. Делаем проверку,

$$125 \cdot 8 - 729 = 271. ~ \square$$

$125 \cdot 2^x-270=3^y+1$

По (mod 5) LHS даёт остаток 0,и поэтому RHS должно дать также остаток 0.

$3^1 \equiv 3\pmod{5},3^2 \equiv 4\pmod{5},3^3 \equiv 2\pmod{5},3^4 \equiv 1\pmod{5}$ и т.д.Тогда $y$ принимает вид $4k+2$,где k=0,1,2,$\ldots$.

$125 \cdot 2^x-3^{4k+2}=271$

Предположим,что при $x \geq$ 4 у нас имеются решения.Тогда по (mod 16) $125 \cdot 2^x$ делится на 16,т.е $3^{4k+2} \equiv 271 \pmod{16}$.

$3^{4k+2}=81^k \cdot 9 \equiv 15\pmod{16}$ (по (mod 16) 271 даёт остаток 15)

Заметим,что $81^{free} \equiv 1\pmod{16}$.Тогда мы получим,что $9 \equiv 15 \pmod{16}$,что невозможно.Поэтому $x \leq 3$.Подставляем и получаем единственный ответ,когда $(x,y)=(3,6)$.

we know $y$ is even and $x$ is odd ,$5\leq x $ ,$3^y\equiv 9,17,25,1 \pmod {32}$ and $271\equiv 15 \pmod {32}$ $\rightarrow$ $3^y\equiv17\pmod{32}$ so $y=4k+2$, $3^{4k+2}\equiv \pmod {32}$ ,$81^k*9 \equiv 25,9 \pmod {32}$ but $271\equiv 15 \pmod {32}$ so $x \leq4$ and we have only one answer is $x=3 ,y=6$