Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB.$ Прямая, проходящая через точку $D,$ середину гипотенузы $AB,$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $Q.$ Пусть $M$ — середина отрезка $PQ.$ Из точки $R,$ симметричной точке $D$ относительно точки $M,$ проведён перпендикуляр $RF$ на гипотенузу $AB.$ Докажите, что $CM$ является биссектрисой угла $FCD.$

Комментарий/решение

По условию $DM=MR,~ FR \perp DF$, тогда $DM=MF$. Значит, достаточно доказать, что $C$, $D$, $M$, $F$ лежат на одной окружности.

Пусть $\angle DFM = \angle MDF = \alpha$, $\angle CBA=\beta$. Тогда $\angle CPQ = \alpha + \beta$. Точка $M$ середина гипотенузы $PQ$, поэтому $\angle PCM = \alpha + \beta$. По аналогичной причине, $\angle BCD = \beta$.

$$\angle DCM=\angle BCM - \angle BCD = \alpha +\beta-\beta=\alpha =\angle DFM$$

следовательно, $C$, $D$, $M$, $F$ лежат на одной окружности. $\square$

Если $P$ ближе к $B$ чем к $C$, то $CM$ биссектриса внутреннего угла $\angle DCF$, иначе внешнего (см. рисунок 1 и 2).

заметим что $\angle BCA=90 $ и он смотрит на $BA$,$QP$ под этим углом отсюда легко понять что $BA$,$QP$ диаметры описанной окруности , заметим $\triangle DRF$ его медиана $FM$ $\rightarrow$ $FM=RM=MD$ значит нам домтаточно доказать что $CF=CD$ заметим что $\angle BFC/2= \angle CBA$,$\rightarrow$,$\angle CDB=180-2\angle CBA$ ,$\angle CFA = 180 -\angle CFB$ $\rightarrow$,$CF=CD$ значит это $kite$ откуда $CM$ бисектриса

Что такое $"kite"$ в вашем решении

Это такая фигура на русском нет перевода но в aops вы вроде можете найти

На русском: "дельтоид"

Спасибо

https://mathmonks.com/kite