Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур регионального этапа

Числа $x$ и $y,$ не равные 0, удовлетворяют неравенствам ${x^2-x > y^2}$ и ${y^2-y > x^2.}$ Какой знак может иметь произведение $xy$ (укажите все возможности)? ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Знак плюс.
Решение. I Сложив данные неравенства, получим: $x+y < 0 (*)$. Перемножив их (это можно делать, так как правые части неотрицательны) получим: $xy(1-x-y) > x^2y^2.$ Стало быть, $xy(1-x-y) > 0.$ Выражение в скобках положительно в силу неравенства $(*),$ поэтому и произведение $xy$ положительно.
Решение. II Пусть одно из чисел (для определенности $x$) положительно. Тогда из первого неравенства в условии получаем $x^2 > x^2-x > y^2 \ge 0$ и, значит, $x > |y|.$ Следовательно, по второму неравенству из условия $y^2+x > y^2+|y| \ge y^2-y > x^2,$ поэтому $y^2 > x^2-x,$ что противоречит первому неравенству. Таким образом, наше предположение неверно и среди чисел $x$ и $y$ нет положительных. А значит, они оба отрицательны и $xy > 0.$

Ответ: плюс

Сложив неравенства получим:

$x+y<0$

домножим обе части на $x+y$(знак неравенства поменяется):

$x^2+y^2>-2xy$(*)

также есть неравенство $x^2+y^2>2xy$(**)

то из (*)-(**) получаем:

$xy>0$