Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2.$

Комментарий/решение

Ответ :$f (x)=x^2$

Если равенство выполнится при любом $x,y $ ,то оно также выполнится и при $y=0$. Тогда $$f (x^2)+f (f (x))=2f (f (x)) $$. Перенесем второе слагаемое из левой части в правую и получим $$f (x^2)=f (f (x)) $$. Таким образом имеем два случая

1) функция нечетная и $ f (x)=x^2$. Проверкой убеждаемся, что это верно

2)функция четная и $f (x)=-x^2$. Проверка показала, что это не верно.

Не факт, что если $f(x^2)=f(f(x))$, $f(x)=x^2$ или $f(x)=-x^2$. Есть функция например: если $x<0$, $f(x)=1$, если $x\geq0$, $f(x)=0$.

$Ответ:f(x)=x^2$.

Пусть $P(x,y)$ данное равенство. Тогда при $P(x,f(x))$:

$f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2(f(x))^2$.

А при $P(x,-x^2)$:

$f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4$. Тогда $2f(f(x))+2(f(x))^2=2f(f(x))+2x^4$, $(f(x))^2=x^4$. Есть два случая:

1) $f(x)=x^2$. Проверкой убеждаемся, что это верно;

2) $f(x)=−x^2$. Проверка показала, что это не верно.