Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс


В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $BC.$ На отрезках $AC$ и $AB$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $AE\cdot BE=AD\cdot CD.$ Докажите, что $ME=MD.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2020-03-17 10:58:55.0 #

Рассмотрим окружность $\omega,$ описанную около треугольника $ABC.$ Заметим что $M$ центр этой окружности. Более того, точки $D$ и $E$ лежат внутри этой окружности. Как известно, степень точки относительно окружности это разность квадрата расстояние от точки до центра и радиуса самой окружности. Вдобавок, для точек внутри окружности степень точки это произведение отрезков произвольной хорды, проходящей через данную точки, взятое со знаком минус. Таким образом, если $R$ радиус $\omega,$ а за $\deg(A,\omega)$ обозначим степень точки $A$ относительно $\omega,$ то $$-BE\cdot AE=\deg(E,\omega)=ME^2-R^2$$ $$-AD\cdot DC=\deg(D,\omega)=MD^2-R^2$$

А раз мы знаем, что $BE\cdot AE=AD\cdot DC,$ то $$ME^2-R^2=MD^2-R^2\Longrightarrow ME^2=MD^2\longrightarrow ME=MD$$