Областная олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, а точки $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ — середины сторон $BC,$ $AC,$ $AB$ соответственно. Пусть $K$ — точка, симметричная точке $B_1$ относительно прямой $BC$. Докажите, что прямая $C_1K$ делит отрезок $HA_1$ пополам.

Комментарий/решение

Заметим, что в прямоугольном треугольнике $ABH$ медиана $C_{1}H$, проведенная к гипотенузе, равна половине $AB$, также как $A_{1}B_{1}$, поэтому $AB_{1}$ = $C_{1}H$. Также понятно, что $C_{1}B_{1}$$\parallel$$HA_{1}$.

Рассмотрим трапецию, где вершинами являются точки $C_{1},B_{1},A_{1},H.$

i) Два последних равных отрезка $AB_{1}$ и $C_{1}H$ могут оказаться боковыми сторонами этой трапеции. Тогда четырехугольник $C_{1}B_{1}A_{1}H$ - равнобокая трапеция (по признаку боковой стороны)

ii) Если отрезки $AB_{1}$ и $C_{1}$ являются диагоналями этой трапеции, то четырехугольник $C_{1}B_{1}HA_{1}$ - равнобокая трапеция (по признаку диагонали)

Так как прямые $A_{1}B_{1}$ и $A_{1}K$ симметричны относительно $BC$, то острый угол между прямыми $A_{1}K$ и $BC$ такой же, что и острый угол между прямыми $C_{1}H$ и $BC$, поэтому $C_{1}H$$\parallel$$A_{1}K.$ В то же время $CH=A_{1}=A_{1}K.$ Следовательно, $C_{1},A_{1},K,H$ - вершины параллелограмма, в котором $C_{1}K$ делит $HA_{1}$ пополам.

Заметим, что $B1CKH$ будет ромбом, т.к. его диагонали $HC$ и $B1K$ перпендикулярны, а также $B1K$ делится пополам прямой $BC$ и $HB1=B1C$( медиана в прямоугольном треугольнике \triangle AHC).

$C1A1$-средняя линия$=>$ она равна половине $AC=B1C=HK$

AC//HK, AC//C1A1=>$C1A1//HK$, и т.к. $A1C1=HK, A1C1//HK=>C1A1KH$- параллелограмм, его диагонали делятся пополам, значит, диагональ $A1H$ делится диагональю $C1K $пополам, что и требовалось доказать.

я здесь

$C_1, B_1, H, A_1$ лежат на окружности 9 точек треугольника $ABC$, тогда $B_1C_1HA_1$ - равнобокая трапеция $\Rightarrow$ $HC_1 = A_1B_1 = A_1K$ и $HB_1 = A_1C_1 = HK$, значит $C_1HKA_1$ - параллелограмм и $C_1K$ проходит через середину $HA_1$.