Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, III тур дистанционного этапа

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ равен 45 градусам. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин $B$ и $C$. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть высоты $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H.$ Заметим, что треугольники $AB_1B,$ $AC_1C,$ $HB_1C$ и $HC_1B$ — прямоугольные равнобедренные с прямыми углами в вершинах $B_1$ и $C_1$ соответственно. Поэтому $AB_1 = BB_1,$ $AC_1 = CC_1,$ $B_1C = HB_1,$ $C_1B = HC_1.$ Кроме того, по неравенству треугольника $BH+CH > BC.$ Значит, $AB+AC+BC = AC_1+C_1B+AB_1+B_1C+BC < CC_1+HC_1+BB_1+HB_1+BH+CH = 2(CC_1+BB_1),$ что нам и требовалось.