Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Вещественные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x+y+z=0$. Докажите, что $6{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)^2} \leq {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^3}$.

Комментарий/решение

В неравенство подставим вместо $z=-x-y$ ,тогда неравенство будет эквивалентна:

$27x^2y^2(x+y)^2\leq 4(x^2+xy+y^2)^3$

Но это неравенство доказывается с помощью перемножение этих неравенств:

$3xy\leq x^2+xy+y^2$ (2раза)

$3(x+y)^2 \leq 4(x^2+xy+y^2)$