Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс

$H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC,$ точки $D$ и $E$ — основания высот, проведенных соответственно из вершин $B$ и $C$. Окружность с диаметром $DE$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ еще раз соответственно в точках $F$ и $G.$ Отрезки $FG$ и $AH$ пересекаются в точке $K.$ Если $BC = 25,$ $BD = 20$ и $BE = 7,$ то найдите длину отрезка $AK.$

Комментарий/решение

из подобия $BHE,CHD$ система уравнения

$\left\{ \begin{gathered}\dfrac{CH}{BH}=\dfrac{7}{15}\\ \dfrac{20-CH}{24-BH} = \dfrac{15}{7}\\\end{gathered} \right.$

Откуда $BH=\dfrac{35}{4}, \ CH=\dfrac{75}{4}$ значит $EH=\dfrac{21}{4}, \ DH=\dfrac{45}{4}$ из подобия $BHC, \ DHE$ откуда $ED=15$ , отметим что $GF || BC$ так как $FEDG$ вписанный, и $BD,CE$ высоты, так как $ED$ диаметр, то $EG || BD$.

Из подобия треугольников $AED, \ ABC$ откуда

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{AD}{AE+7}=\dfrac{3}{5} \\ \dfrac{AE}{AD+15} = \dfrac{3}{5} \\\end{gathered} \right.$

решением является $AD=15, \ AE=18 $ значит $AC=30, \ AB=25$ треугольник $ABC$ равнобедренный, найдя площадь $S=\dfrac{20 \cdot 30}{2} = \dfrac{25 \cdot AF}{2}$ где $AF$ высота , откуда $AF=24$.

Из подобия $AEG,ABD$ откуда $EG=\dfrac{18}{25} \cdot 20 = \dfrac{72}{5}$ значит $GD = \sqrt{15^2-(\dfrac{72}{5})^2} = \dfrac{21}{5}$ и $AG=\dfrac{54}{5}$ соответственно из подобия $AKG, AFC$ откуда $AK = \dfrac{AG}{AC} \cdot AF = \dfrac{216}{25}$ .