Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Дана окружность $\omega$, и точки $P$ и $Q$ на ней. Пусть $M$ — середина $PQ$. На окружности выбраны точки $A$ и $C$ таким образом, что $AC$ проходит через $M$. Также на окружности выбраны точки $C$ и $D$ таким образом, что $ABCD$ является трапецией. Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, и обе они параллельны $PQ$. Докажите, что точка $X$, являющаяся точкой пересечения прямых $AD$ и $BC$, не зависит от выбора точки $A$ на данной окружности.

Комментарий/решение

Видимо в условий имелось в виду точки $B,D$. Так как $AM$ делит $PQ$ пополам , получим что и $BD$ так же пересекает $PQ$ в точке $M$ , из условия следует что $\Delta AMD , \Delta CMD$ равнобедренные , так как $AB || CD || PQ$ , значит $PB=AQ,PC=DQ , BC=AD$. Определим точку $X$ как в условий $AD \cap BC$, диагонали вышеописанных равнобедренных трапеций , лежат на прямой $MX$. Откуда делаем вывод , что все такие прямые $AD,BC$ при фиксированной прямой $PQ$ на $\omega$ пересекаются в $ X $ .