Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 9 класс

Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^4-2n^3+23n^2-22n+16$ является полным квадратом.

Комментарий/решение

$$(n^2+11-n)^2-105=a^2$$

дальше просто взять это как $b^2-105=a^2$

(b+a)(b-a)=105; разобрать по делителям.

300iq movement

хз, не особо сложно, я не знаю как это мне в голову зашло в 8 классе

Фото не могу загрузить, поэтому вот:

https://yandex.kz/images/search?from=tabbar&text=%D1%87%D0%B5%D0%BB%20%D0%BF%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%82%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%20%D1%81%D0%B5%D0%B1%D0%B5%20%D0%BC%D0%B5%D0%BC&pos=3&img_url=https%3A%2F%2Fstatic9.depositphotos.com%2F1012242%2F1141%2Fi%2F950%2Fdepositphotos_11414521-stock-photo-what-mobile-phone.jpg&rpt=simage

АХАХАХАХАХ

Когда я, 2 года назад, в 9 классе готовился к районке, я пытался решить эту задачу. Не получилось, полез смотреть решения других и лучше от этого особо не стало. Я не научился решать похожие задачи, ибо как до этого вообще можно было догадаться?

Сейчас я хочу показать не только решение, но и то, как можно до таких решений додумываться. Я буду рад, если помогу хоть одному такому же 9 класснику который только недавно, как я тогда, начал увлекаться олимпиадной математикой.

Решение:

Для начала преобразуем выражение (далее $f_n$) удобным нам образом.

Смотрим на коэффициенты. Слева видим $n^4-2n^3$ - напоминает начало формулы $(n-1)^2=n^2-2n+1$. Если бы там был еще $+n^2$, можно было бы написать

$n^4-2n^3+n^2=n^2(n^2-2n+1)=n^2(n-1)^2$

Сделаем же это - для этого запишем $23n^2$ как $n^2+22n^2$, и... удача.

$n^4-2n^3+n^2+22n^2-22n+16=n^2(n-1)^2+22n(n-1)+16$.

Можно ввести обозначение $m=n(n-1)$ и тогда,

$f_n=m^2+22m+16$

Для того чтобы избавиться от неудобного $22m$, можно выделить полный квадрат $(m+11)^2$:

$m^2+22m+16=m^2+22m+121-121+16=(m+11)^2-105$

Для еще большего удобства обозначим $k=m+11$:

$f_n=k^2-105$

Теперь остается решить уравнение $k^2-105=p^2$, где $p$ - какое-то целое. Получим

$(k-p)(k+p)=105$

Далее разбираем по делителям числа $105$ и не забываем про случай $k-p=1, k+p=105$.

У нас, таким образом, получилось как раз $k=m+11=n(n-1)+11=n^2-n+11$ как в других решениях.

После разбора по делителям должны выйти решения $n=1$, $n=2$ и $n=7$.

спасибо большое, я сейчас и являюсь тем девятиклассником которым ты был

Заменим $n(n-1)$=$m$,тогда $m^2$+$22m$+$16$-$x^2$=0 тогда рассмотрим дискриминант данного квадратного уравнения тогда у нас число $22^2$-$64$+$4x^2$=$d^2$ тогда скажем что $d$=2$h$ тогда $105$+$x^2$=$h^2$ тогда дадим ограничение x так что бы разница двух последовательных квадратов была меньше 105 отсюда $52$$\geq$$x^2$ тогда 2688$$\geq$$k$($k+22$) тогда $42$$\geq$$k$ откуда $7$$\geq$$n разобрав семь вариантов получим n=1;n=2;n=7