Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год

Решите уравнение в целых неотрицательных числах: $x^4+4y^3+5=y^6-6x^2.$ ( Исахов А. )

Комментарий/решение

По условию, $$x^4+6x^2+5 = y^6-4y^3.$$

Пусть, $a = x^2+1, b= y^3-4$. Тогда

$$a(a+4)=(x^2+1)(x^2+5)=x^4+6x^2+5 = y^6-4y^3= y^3(y^3-4) = b(b+4).$$

БОО $a>b$, тогда $a+4> b+4$, значит $a(a+4)> b(b+4)$. Противоречие. Тогда $a=b$.

Значит, $$x^2+1 = y^3-4$$ или

$$x^2+2^2 = y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1)$$

Если, $y \equiv 0 \, (mod \, 2)$, $x^2 \equiv -1 \, (mod \, 4)$. Противоречие.

Тогда пусть, $y =2k+1$ и понятно, что $x \equiv 0 \, (mod \, 2)$ и $4 \, | \, x^2+4$.

$$4 \, | \, x^2+4 = 2k((2k+1)^2+2k+1+1) = 2k(4k^2+6k+3)$$

Так как, $4k^2+6k+3 \equiv 1 \, (mod \, 2)$, а значит $2 \, | \, k$. Но тогда, $4k^2+6k+3 \equiv 3 \, (mod \, 4)$, а число вида $x^2+2^2$, не может иметь делитель $p \equiv 3 \, (mod \, 4)$ из теоремы Ферма — Эйлера.

$\textbf{Решение:}$ $$x^4+4y^3+5=y^6-6x^2 \Longleftrightarrow x^4+6x^2-(y^6-4y^3-5)=0 \Longleftrightarrow (x^2-y^3+5)(x^2+y^3+1)=0$$

$\textbf{Случай 1.} \qquad {y^3+1=-x^2}$ Одно решение очевидное: $x=0, y=-1.$ Более того, легко заметить, что $y^3+1$ не может принимать других положительных значений, поскольку $-x^2$ отрицательно. Запишем наше уравнение в виде:

$$y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)=(y+1)^2\Big( y-2+\frac{3}{y+1}\Big)=-x^2 $$

Далее, выражение $\frac{3}{y+1}$ будет целым только при $y=-2$ или $y=-4.$ Но, при этих значениях число $x$ не является целым числом.

$\textbf{Случай 2.} \qquad x^2=y^3-5$

$....$

у нас неотрицательные числа