3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур, 2019 г.

Назовём два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ почти равными, если $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$ и $\angle A=\angle A_1$.
   а) Даны два почти равных треугольника. Верно ли что эти треугольники равны?
   б) Даны три попарно почти равных треугольника. Верно ли, что среди них какие-то два треугольника обязательно равны?

Комментарий/решение

а) да, так как они оба будут равнобедренными и углы при вершинах B и C будут равны друг друг и углам другого треугольника.

б) не знаю

а) Предположим, $\angle A$ - острый и $BC < AB$. В этом случае треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ необязательно равны.

Геометрическое место точки C будет пересекаться на прямой $AC$ двумя разными точками (легко понять если начертить окружность с радиусом $BC$ и центром $B$). $AC \ne AC_1$

Ответ: Нет

б) Если угол $A$ будет тупым, то по 4*теореме равенства треугольников даже 3 "почти равные" треугольники будут равны. Если угол $A$ будет острым то ГМТ $C$ на прямой $AC$ равна 2, а "почти равных" треугольников у нас по условию 3. По принципу Дирихле у нас хотя бы 2 треугольника равны.

Ответ: Да