3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур, 2019 г.

Существует ли перестановка $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{30}$ чисел $1,2,3, \ldots, 30$ такая, что число $a_k+k$ является полным квадратом для каждого $k$ от 1 до 30?

Комментарий/решение

Сделаем числа в порядке:

$3, 2, 1, 5, 4, 30, 29 \dots 6$.

Первые четыре числа дадут:

$3+1=4$

$2+2=4$

$1+3=4$

$5+4=9$

$4+5=9$

$\dots$

$6+30=36$

Где первое число это просто число, а второе это его номер.