Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Решите следующую систему уравнений в вещественных положительных числах: $$ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{1} +x_{2} + \dots +x_{n} =9,} \\ {\frac{1}{x_{1} }+\frac{1}{x_{2} }+ \dots +\frac{1}{x_{n} }=1.} \\ \end{array} }} \right. $$

Комментарий/решение

$Ответ:(3;3;3).$

С помощью неравенство о средних:

$\dfrac{9}{n}$=$\dfrac{x_{1}+x_{2}+...x_{n}}{n}$$\geq$$\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+...+\dfrac{1}{x_{n}}}=n$, тогда $9$$\geq$$n^2$ или $3$$\geq$$n$. При $n=3$ $x_{1}=x_{2}=x_{3}=3$. При $n=2$ и $n=1$ решений нет.