5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 7-8 классы

Выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ лежит внутри выпуклого шестиугольника $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$, причем $A_1A_2 \parallel B_1B_2, \, A_2A_3 \parallel B_2B_3, \, \ldots, \, A_6A_1 \parallel B_6B_1.$ Оказалось, что каждый из шестиугольников $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ и $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ является несамопересекающимися. Докажите, что их площади равны.

Комментарий/решение

Обратите внимание, что треугольники $A_1A_2B_1$ и $A_1A_2B_2$ имеют равную площадь - поскольку они имеют одинаковые значения основания и высоты (они являются частью трапеции $A_1A_2B_2B_1$. Повторив этот процесс для остальных пяти трапеций, мы обнаружим, что области $A_1B_2A_3B_4A_5B_6-A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ и $B_1A_2B_3A_4B_5A_6-A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, каждая из которых состоит из шести треугольников, имеют равную площадь. Таким образом, два простых шестиугольника имеют одинаковую площадь.