Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год

В последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $|a_i| < 1$ при некотором $i$. ( А. Голованов )