23-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год

Найдите все простые числа $p,$ для которых существуют такие положительные целые числа $x,y,z$, что число $x^p+y^p+z^p-x-y-z$ равно произведению трёх различных простых чисел.

Комментарий/решение

$Ответ:p=2,3,5$

Заметим что по теореме ферма при $p>5$ $x^p-x$ делится на $6p$ (так как $x(x^{p-1}-1)$ делится на $x(x^2-1)$,а это число на $6$). Но при $x>1$(в ином случае $x=y=z=1$, но в этом случае выражения равно $0$), $x^p-x+y^p-y+z^p-z \geq x^p-x \geq 2^p-2>6p$, значит это число (при $p>5$) произведение больше чем $3$ простых чисел. Вот примеры для:

$p=5,x=2,y=z=1$

$p=3,x=1,y=2,z=3$

$p=2,x=3,y=z=4$

На JBMO, BMO часто снимают баллы за недоказанные факты, несмотря на их простоту. Так, например, у участников того года снимали по 1-2 балла если не доказали, что $2^p-2>6p$.

(Совет будущим участникам помнить об этом)

Мне кажется этот ученик был ты)лол

жёстко..

Этими людьми были четверо из шести участников команды Казахстана)

Мне вас правда жаль, может из за этих не достаточных баллов вы не смогли взять хорошое место. А так на сайте $matol$ не обязательно предоставлять полные решение(мы же не на олимпиаде), цель сайта это научить думать критически и понимать какие методы и теории нужны использовать при решении олимпиадных задач.

думайте критически, занимайтесь математикой, хвхвх

$2^p\geq{p^2} $ это известно если $p\geq 4$ и $2^p-2>p^2$ если $p\geq 5$ т.к. $p\geq7$ то $2^p-2>p^2>6p$ если $p\geq 7$ .Вот доказательство

так можно просто $2^p-2 > 6p$ через индукцию доказать для чисел $p>5$, не?

Это то можно но разницы нету т.к. мы доказали то что надо было