Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2019 год

Попарно различные действительные числа $a,$ $b,$ $c$ удовлетворяют условию: $a^2-b=b^2-c=c^2-a.$ Вычислите значение следующего выражения: $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1).$

Комментарий/решение

$$a^2-b=b^2-c \Rightarrow a^2-b^2=b-c \Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b} \Rightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}$$

$$ b^2-c=c^2-a \Rightarrow b+c+1=-\frac{a-b}{b-c}$$

$$ c^2-a=a^2-b \Rightarrow a+c+1=\frac{b-c}{a-c}$$

$$(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-\frac{a-c}{a-b}\cdot \frac{a-b}{b-c}\cdot\frac{b-c}{a-c}=-1$$