Областная олимпиада по математике, 2002 год, 9 класс

В каждой клетке клетчатой доски $3 \times 3$ расставлены стрелки $\leftarrow $, $\uparrow $, $\to $, $\downarrow $. Первоначально жук сидит в одной из клеток. В каждый год жук переходит в соседнюю клетку, на которую указывает стрелка той клетки, где он сидел. При этом, когда жук осуществляет переход, стрелка в покинутой клетке поворачивается на $90^\circ$ по часовой стрелке. Каково наибольшее число , в течение которых жук может находиться внутри доски? (Жук делает свой первый переход ровно через год)

Комментарий/решение

Заметим, что в угловой клетке можно быть максимум $2$ года, в боковой - $3$, а в центральной - $5$ (если изначально находиться там), тогда наибольшее число лет $= 2\cdot4+3\cdot4+5=25$. Но если брать в счет, что в самом конце жук стоит целый год в клетке, и только потом выходит за пределы доски, то ответ $- 26$

Пример для 26, где жук изначально находится в центральной клетке: