Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл

$S = \frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 3}} + \frac{1}{{1 + 3 + 5}} + \ldots + \frac{1}{{1 + 3 + 5 + \ldots + 4019}}$ болсын. $\frac{2010}{2011} < S < \frac{2010}{2011}+1$ теңсіздігін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$$I. \qquad 1+3+5+...+(2k-1)=k^2, \qquad \forall k \in \mathbb{N}$$

$$II. \qquad \forall a\ne b>0 : \qquad a<b \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$

$$ 1=1^2$$

$$1+3=2^2$$

$$1+3+5=3^2$$

$$1+3+5+...+4019=2010^2$$

$$ S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}$$

$$ II. \qquad \Rightarrow \frac{1}{k(k+1)}<\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}$$

$$ A<S<B$$

$$ A=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2010\cdot2011}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}=1-\frac{1}{2011}=\frac{2010}{2011}$$

$$ B=1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2010\cdot2009}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=1+1-\frac{1}{2010}=1+\frac{2009}{2010}$$