Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2019 год

Пусть даны целые числа $a,$ $b,$ $c$ такие, что $\frac{19 \cdot 20}{2019 \cdot 2020}=\frac {a}{673}+\frac{b}{101}+\frac {c}{60}$. Найдите остаток от деления числа $a+11b+10c$ на 73. ( Ибатулин И. )

Комментарий/решение

Ответ: 15

Приведем к общему знаменателю и получим:

19•20=6060a+673•60b+673•101c

Если разделить обе стороны на 73, то остаток слева 15, значит и справа такой же.

19•20 сравнимо с 15 по модулю 73,

6060 сравнимо с 1 по модулю 73

Пусть a сравнимо с х по модулю 73, тогда по свойству сравнений по модулю, 6060а сравнимо с х по модулю 73.

Пусть b сравнимо с y, и 673•60 сравнимо с 11 по модулю 73, тогда 673•60b сравнимо с 11y по модулю 73.

Пусть c сравнимо с z по модулю 73, и 673•101 сравнимо с 10 по модулю 73, тогда 673•101с сравнимо с 10z по модулю 73.

В итоге получаем:

x+11y+10z сравнимо с 15 по модулю 73.

Используя свойства сравнений по модулю получаем: a+11b+10c сравнимо с 15 по модулю 73.