Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Существуют ли простые числа $p$, $q$ и $r$ такие, что число $\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )

Комментарий/решение

Ответ: Не существует.

Если $p=q,$ то $q\mid r\implies p=q=r,$ следовательно $2\cdot p^3\mid 3\cdot p^p\implies p=2,$ что очевидно не подходит.

Далее б.о.о. $p>q>r.$ Легко понять, что одно из чисел $p,q,r-$ четное, иначе $2\nmid p^p+q^q+r^r.$ Значит $r=2.$ Тогда $$\dfrac{p^p+q^q+4}{4pq}\implies 4\mid p^p+q^q,\quad p\mid q^q+4,\quad q\mid p^p+4.$$

$$\implies$$

$$ p+q\equiv p^p+q^q\equiv 0\pmod 4 \quad (i)$$

$$-q\cdot \bigg( q^{\frac{q-1}{2}} \bigg)^2 \equiv 4 \pmod p\implies -q\equiv x^2\pmod p \implies \binom{-q}{p}=1 \quad (ii)$$

$$-p\cdot \bigg( p^{\frac{p-1}{2}} \bigg)^2 \equiv 4 \pmod q \implies -p\equiv x^2\pmod q \implies \binom{-p}{q}=1 \quad (iii)$$

Следовательно из свойств Символа Лежандра и Квадратичного Закона Взаимности получаем, что

$$ 1=\binom{-q}{p}\cdot \binom{-p}{q}=\Bigg( \binom{-1}{p}\cdot\binom{q}{p} \Bigg) \times \Bigg( \binom{-1}{q}\cdot\binom{p}{q}\Bigg)=\Bigg( \binom{q}{p}\cdot\binom{p}{q} \Bigg) \cdot\binom{-1}{p}\cdot \binom{-1}{q}=$$

$$\Large{ =(-1)^{ \frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } \cdot (-1)^{ \frac{p-1}{2} } \cdot (-1)^{ \frac{q-1}{2} } =(-1)^{(a+1)(b+1)-1}, }$$

где $\dfrac{p-1}{2}=a,\dfrac{q-1}{2}=b.$

Тогда $2\mid (a+1)(b+1)-1\implies 2\mid a,b\implies 2\mid a+b=\dfrac{p+q-2}{2}\implies p+q\equiv 2\pmod 4,$ но из $(i)\implies 2\equiv 0\pmod 4,$ что конечно невозможно.

$\\$

Примечания: Сравнения $-q \equiv x^2\pmod p$ и $-p\equiv x^2\pmod q$ означают, что каждое из этих сравнений (по отдельности) имеют решение.

Решение можете посмотреть на данном сайте в разделе математика:

Республика 2019