15-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2019 год

С многочленом третьей степени разрешается неограниченное число раз проделывать следующие две операции:
   (i) переставлять его коэффициенты, включая нулевые, в обратном порядке (так, из многочлена $x^3-2x^2-3$ можно получить многочлен $-3x^3-2x+1$);
   (ii) заменять многочлен $P(x)$ на многочлен $P(x+1)$.
   Можно ли получить из многочлена $x^3-2$ многочлен $x^3-3x^2+3x-3$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Операция $\mathrm{(i)}$ корень $x$ сменяет на $\frac 1 x$

Операция $\mathrm{(ii)}$ корень $x$ сменяет на $x-1$

Заметим, что у изначального уравнения $x^3-2$, два мнимых корня, действительные части которых меньше 0,

а у многочлена $(x-1)^3-2$, два мнимых корня, действительные части которых больше 0.

После каждой операции у мнимых корней, действительные части всегда будут меньше 0.

Значит из многочлена $x^3-2$ нельзя получить $(x-1)^3-2$