15-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2019 год


Пусть $n > 1$ — натуральное число. Дана функция $f:I \to \mathbb{Z},$ где $I$ — множество всех целых чисел, взаимно простых с $n$. ($\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел). Натуральное число $k$ называется периодом функции $f$ если $f(a)=f(b)$ для любых $a,b\in I$ таких, что $a \equiv b \pmod k$. Известно, что $n$ является периодом функции $f.$ Докажите, что минимальный период функции $f$ делит все ее периоды.
   Пример. Когда $n=6,$ функция $f$ с периодом 6 полностью определяется своими значениями $f(1)$ и $f(5).$ Если $f(1)=f(5),$ то функция имеет минимальный период $P_{\min}=1$, а если $f(1)\ne f(5),$ то $P_{\min}=3.$ ( Е. Байсалов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: