Областная олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс


Найдите целую часть отношения $\frac{A}{B}$ для чисел $A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{997 \cdot 998}} + \frac{1}{{999 \cdot 1000}} $ и $B = \frac{1}{{501 \cdot 1000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \ldots + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1000 \cdot 501}}.$ (Целой частью числа $x$ называется наибольшее целое число, не превышающее $x.$)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 750.
Решение. Используя тождество $\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$ получаем, что \[A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{999 \cdot 1000}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{{999}} - \frac{1}{{1000}} = \] \[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{{1000}}} \right) - 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{{1000}}} \right) = \] \[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{{1000}}} \right) - \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{{500}}} \right) = \] \[ = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \ldots + \frac{1}{{1000}}. \quad (1)\] Аналогично, используя тождество $\frac{1}{{mn}} = \frac{1}{{m + n}}\left( {\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \right)$, получим \[B = \frac{2}{{1501}}\left( {\frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \ldots + \frac{1}{{1000}}} \right). \quad (2)\] Тогда из равенств (1) и (2) следует, что $[A/B]=[1501/2]=750.$

  3
2019-01-07 15:55:00.0 #

Здесь ошибка: в место $\dfrac{1}{8}$, должно быть $\dfrac{1}{6}$. И в место $\dfrac{1}{4}$, должно быть $\dfrac{1}{3}$ (а то равенство в конце не выполняется).

  2
2019-01-08 21:58:51.0 #

Спасибо! Опечатку исправили.