Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс

Пусть точка $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AHB,$ $BHC,$ $CHA,$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.

Комментарий/решение

Предположим, что BC > AC (рис.3). Обозначим через D и E точки касания вписанных окружностей треугольников AMC и BMC со сторонами AC и BC соответственно, r — радиус окружностей. Поскольку радиусы этих окружностей равны и $ \angle$CAM = $ \angle$CBM, то AD = BE. Поэтому CD < CE.

С другой стороны, поскольку BC > AC, то $ \angle$BAC > $ \angle$ABC. Поэтому

$\displaystyle \angle$MCA = 90o - $\displaystyle \angle$BAC < 90o - $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$BCM.

Тогда

CD = r cos$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$MCA > r cos$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BCM = CE,

что невозможно. Аналогично докажем, что BC не может быть меньше AC.