Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 9 класс

Докажите, что для всех положительных вещественных чисел $x$ выполнено неравенство $2^{\sqrt[12]{x}}+2^{\sqrt[4]{x}} \ge 2 \cdot 2^{\sqrt[6]{x}}.$

Комментарий/решение

Сделаем замену: $t=\sqrt[12]{x}$ ($t>0$), тогда $t^2=\sqrt[6]{x}$ и $t^3=\sqrt[4]{x}$, тогда левая часть примет вид

$$2^t+2^{t^3}$$

По неравенству Коши:

$$\frac{2^t+2^{t^3}}{2}\geq\sqrt{2^{t+t^3}}$$

И так как

$$t+t^3\geq2t^2$$, то

$$\frac{2^t+2^{t^3}}{2}\geq\sqrt{2^{t+t^3}}\geq2^{t^2}$$

Что и доказывает неравенство

$2^\sqrt[12]{x}+2^\sqrt[4]{x}-2 \cdot 2^\sqrt[6]{x} \geq 0 \\ 2^\sqrt[12]{x} \cdot (2^\sqrt[6]{x}-2 \cdot 2^\sqrt[12]{x}+1)\geq 0 \\ 2^\sqrt[12]{x} \cdot (2^\sqrt[12]{x}-1)^2 \geq 0 \\ 2^\sqrt[12]{x}\geq 0 , (2^\sqrt[12]{x}-1)^2 \geq 0 \text{ теңсіздік дәлелденді.}$