Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр вписанной окружности.

Комментарий/решение

Представим себе треугольник. Вспомним, что площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание. Из этого следует, что прямая, делящая треугольник на две равновеликие части , проходит через середину основания. Но в таком случае чтобы эта линия (медиана) делила треугольник на два треугольника с равными периметрами, другие две стороны должны быть равны (ведь у этих треугольников уже равны две стороны). А это значит, что треугольник равнобедренный, медиана в нем и биссектриса совпадают,. Центр вписанной окружности есть пересечение биссектрис, а это значит, что искомая прямая проходит через центр вписанной окружности.

У тебя решение не правильно. Если прямая делит треугольник на равные по площади фигуры, это не означает что оно проходит через середину стороны.

ну да. Я почему то подразумевал, что прямая должна проходить через одну из вершин треугольника. Конечно, в общем случае через середину не пройдёт, решение не верно.

Случай где данная прямая проходит через одну из вершин был разобран сверху. Теперь будем считать что он пересекает 2 стороны треугольника. Пусть данный треугольник будет $ABC$, а прямая пересекает $AC$ и $BC$ в точках $X$ и $Y$. Обозначим через $I$ пересечение биссектрисы угла $C$ и $XY$. Докажем что $I$ центр вписанной окружности. Для этого достаточно доказать что расстояние от $I$ до $BC$ ($IH$) равно радиусу вп.окру. Пусть угол $C$ равен $2x$. Заметим такие факты: $IH=CI•sinx$, $S_{ABC}=2S_{CXY}=CX•CY•sin2x$, $CX+CY=p_{ABC}$. Тогда используя эти факты, и свойства чевианы, биссектрисы:

$\dfrac{p_{ABC}}{CX}=1+\dfrac{CY}{CX}=\dfrac{XY}{IX}=\dfrac{CY•sin2x}{CI•sinx}=\dfrac{CY•sin2x}{IH}$,

из этого следует что:

$IH=\dfrac{CX•CY•sin2x}{p_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{p_{ABC}}= r_{ABC}$, что и требовалось доказать .