2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2017 г.

Суммарный возраст десяти учеников, участвующих на олимпиаде, равен 130 годам. Докажите, что существует четверка учеников, сумма возрастов которых будет не меньше 51 года. Считайте, что возраст каждого ученика равен целому числу лет. (7 баллов)

Комментарий/решение

Пусть $a1, a2, ... a10$ - возрасты учеников, $a1+a2+...+a10=130$.

От противного, пусть такой четверки не найдется, тогда $$a1+a2+a3+a4 \leq 50, $$ $$a5+a6+a7+a8 \leq 50,$$ $\Rightarrow a9+a10 \geq 130-100=30$, аналогично $a1+a2 \geq 30$, $\Rightarrow a1+a2+a9+a10 \geq 60 >51$, противоречие.

P.S. Задача нестрогая, надо было вместо $51$ взять $52$ в условии

Альтернативное решение:

Найдем среднее арифметическое: 130/10=13, в среднем каждому ребенку будет, а это значит, если кому-то будет меньше 13, то кому то будет больше 13, на столько же, на сколько кому-то меньше 13. Значит минимальным значением возрастов четырех участников будет 52, так как при уменьшении чьего-то возраста то сумма каких-либо четырех детей будет больше.

Докажем от противного.

$a_1,a_2,.....,a_{10}$ возрасты учеников.

Предположим, сумма возрастов любой четверки учеников$\leq50$

Тогда, количество таких четверок равна $C^4_{10}$, а количество встречавшихся элементов a_1 во всех четверках равна $C^3_9$

Отсюда следует,

$C^3_9\cdot(a_1+a_2+.....+a_{10})\leq C^4_{10}\cdot50$

$168\cdot(a_1+a_2+.....+a_{10})\leq 420\cdot50$

$a_1+a_2+.....+a_{10}\leq125$

противоречие, так как сумма возрастов равна 130

Решение: Без ограничения общеста, по методу Дирихле находим наилучший вариант, когда возраст всех будет равен 13-ти $(130:10=13)$. Тогда просто выбираем четверых любых четверых учеников, и сумма их возрастов будет равняться 52. А 52>51, что и требовалось доказать.