Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Найдите все пары целых чисел $(m; n)$ такие, что $$ (m - n)^2 = \frac{{4mn}}{{(m + n - 1)}}. $$

Комментарий/решение

$Ответ: (k;-k);(2k^2-k;2k^2+k);(2k^2+k;2k^2-k);(2k^2+k;2k^2+3k+1);(2k^2+3k+1;2k^2+k).$

Эта уравнение эквивалентно этому:

$(m-n)^2(m+n)-(m-n)^2-4mn=0$ или $(m+n)((m-n)^2-m-n)=0$.

В первом случае $m=-n$. А в втором случае, если $m-n=a$, тогда:

$a^2-a-2n=0$, $D=1+8n=(4k-1)^2$ или $(4k+1)^2$, И $n\geq0$. И если решим это уравнение будут подходят для пар (m;n) пары указанные в ответе.