Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Докажите что для любого натурального $n$ число $$ \left( {4 - \frac{2} {1}} \right)\left( {4 - \frac{2} {2}} \right)\left( {4 - \frac{2} {3}} \right) \cdots \left( {4 - \frac{2} {n}} \right) $$ — является натуральным.

Комментарий/решение

Әрбір жақшаны ортақ бөлімге келтіріп жазамыз:

$\left ( 4-\frac{2}{1} \right )\left ( 4-\frac{2}{2} \right )...\left ( 4-\frac{2}{n} \right )=\left ( \frac{4-2}{1} \right )\left ( \frac{8-2}{2} \right )...\left ( \frac{4n-2}{n} \right ).$

Әрқайсысынан жақша сыртына 2ні шығарамыз: $\left ( \frac{4-2}{1} \right )\left ( \frac{8-2}{2} \right )...\left ( \frac{4n-2}{n} \right )=2\cdot \left ( \frac{2-1}{1} \right )\cdot 2\cdot \left ( \frac{4-1}{2} \right )...\cdot 2\cdot \left ( \frac{2n-1}{n} \right )=2^n\cdot\frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{n!}.$

$2^n\cdot\frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{n!}=2^n\cdot\frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot 2\cdot 4\cdot ...\cdot 2n}{n!\cdot 2\cdot 4\cdot ...\cdot 2n}=2^n\cdot\frac{1\cdot 2\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot 2n}{n!\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot ...\cdot 2\cdot n}=2^{n}\cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!\cdot 2^{n}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}=C_{2n}^{n}.$

$C_{2n}^{n}$-натурал сан, $C_{2n}^{n}\in \mathbb{N}.$