Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Для произвольных положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c=1$, докажите следующее неравенство: $$\frac{{a^3 }} {{a^2 + b^2 }} + \frac{{b^3 }} {{b^2 + c^2 }} + \frac{{c^3 }} {{c^2 + a^2 }} \geq \frac{1} {2}.$$

Комментарий/решение

$$\mathbb{S}=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\geq\frac{1}{2}$$

$$a+b+c=1\Rightarrow \mathbb{S}\geq \frac{a+b+c}{2}=\frac{(2a-b)+(2b-c)+(2c-a)}{2} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{a^3}{a^2+b^2}\geq \frac{2a-b}{2}\\ \frac{b^3}{b^2+c^2}\geq \frac{2b-c}{2}\\ \frac{c^3}{c^2+a^2}\geq \frac{2c-a}{2} \\ \end{gathered} \right.$$

$$\mathbb{Q}(x,y): \frac{x^3}{x^2+y^2}\geq \frac{2x-y}{2}\Rightarrow 2x^3\geq 2x^3+2xy^2-yx^2-y^3\Rightarrow$$

$$\Rightarrow yx^2+y^3\geq 2xy^2\Rightarrow \frac{yx^2+y^3}{2}\geq \sqrt{y^4x^2}=y^2x$$

$$\mathbb{Q}(a,b)+\mathbb{Q}(b,c)+\mathbb{Q}(c,a)\geq 0$$

$a^2+b^2\ge 2ab \Longrightarrow $

$\frac{a^3}{a^2+b^2} = \frac{a(a^2+b^2) - ab^2}{a^2+b^2} = a - \frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a- \frac{ab^2}{2ab} =a-\frac{b}{2}$

$\frac{a^3}{a^2+b^2} \ge a-\frac{b}{2}$

$\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}$

$\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}$

осы үш теңсіздікті қосамыз