Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс


Для произвольных положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c=1$, докажите следующее неравенство: $$\frac{{a^3 }} {{a^2 + b^2 }} + \frac{{b^3 }} {{b^2 + c^2 }} + \frac{{c^3 }} {{c^2 + a^2 }} \geq \frac{1} {2}.$$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2017-04-04 21:26:47.0 #

$$\mathbb{S}=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\geq\frac{1}{2}$$

$$a+b+c=1\Rightarrow \mathbb{S}\geq \frac{a+b+c}{2}=\frac{(2a-b)+(2b-c)+(2c-a)}{2} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{a^3}{a^2+b^2}\geq \frac{2a-b}{2}\\ \frac{b^3}{b^2+c^2}\geq \frac{2b-c}{2}\\ \frac{c^3}{c^2+a^2}\geq \frac{2c-a}{2} \\ \end{gathered} \right.$$

$$\mathbb{Q}(x,y): \frac{x^3}{x^2+y^2}\geq \frac{2x-y}{2}\Rightarrow 2x^3\geq 2x^3+2xy^2-yx^2-y^3\Rightarrow$$

$$\Rightarrow yx^2+y^3\geq 2xy^2\Rightarrow \frac{yx^2+y^3}{2}\geq \sqrt{y^4x^2}=y^2x$$

$$\mathbb{Q}(a,b)+\mathbb{Q}(b,c)+\mathbb{Q}(c,a)\geq 0$$