Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Решите уравнение в целых числах $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$.

Комментарий/решение

$$ x-1=z \Rightarrow (z+2)^4-z^4=y^3$$

Пара чисел $x,y\in \mathbb{Z}$ удовлетворяет уравнению. Предположим, что $z\geq 0$.

$$y^3=8z^3+24z^2+32z+16=8(z^3+3z^2+4z+2)$$

$$y=2t\Rightarrow t^3=z^3+3z^2+4z+2$$

Заметим, что $(z+1)^3=z^3+3z^2+3z+1 < t^3 < z^3+6z^2+12z+8=(z+2)^3$, поэтому $ z+1 <t <z+2$ что невозможно. Предположим что $z\leq -2$ тогда пара чисел $z_1=-z-2\geq 0\Rightarrow z_1=-z$ также удовлетворяет исходному уравнению, так как

$$(z_1+2)^4-z_1^4=(z+1)^4-z^4=-y^3=y^3_1$$

Но как было доказано выше, неравенство $z\geq 0$ приводит противоречию. Таким образом, имеем оценки $-2<z<0$ на которых получаем единственное решение $z=-1, y=0$

$$z=x-1\Rightarrow x-1=-1\Rightarrow x=0,y=0$$