Республиканская олимпиада по физике 2013, 10 класс, теоретический тур

(9.5 балла)
Одна пара концов двух длинных, параллельных проводов соединена между собой резистором с сопротивлением $R=0,25$ Ом и предохранителем, который перегорает мгновенно, если сила текущего через него тока превосходит $I=5$ А. Другая пара концов остается не замкнутой. По проводам может скользить без трения проводящий стержень массы $m$. Провода находятся на расстоянии $l=30$ см друг от друга. Вся система помещается в однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B=1.2$ Тл, как показано на рисунке. Сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g=9.8$ м/с$^2$. Стержень отпускают и он падает под действием силы тяжести, но никогда не теряет контакта с проводами.

1. С какой минимальной скоростью $\vartheta_{\min}$ должен двигаться стержень для того, чтобы предохранитель перегорел?
2. При какой наименьшей массе стержня $m_{\min}$ предохранитель перегорает?
3. Найдите аналитическую зависимость скорости стержня $v(t)$ от времени $t$;
4. Предохранитель изготовлен из цилиндрического провода длиной $L$, радиусом $r\ll l$ и удельным сопротивлением $\rho_{f}$. Предположим, что через предохранитель протекает однородный по сечению электрический ток силой $I$;
5. Какова величина и направление электрического поля на поверхности провода, из которого изготовлен предохранитель?
6. Какова величина и направление магнитного поля на поверхности провода, из которого изготовлен предохранитель?

Количество электромагнитной энергии, протекающей через единицу площади поверхности в единицу времени, определяется вектором Пойнтинга $S$, который перпендикулярен электрическому и магнитному полю и равен по модулю $S=EB\sin\alpha/\mu_{0}$, где $E$ — вектор напряженности электрического поля, $B$ — вектор магнитной индукции, а $\alpha$ — угол между ними (смотрите рисунок справа);



7. Найдите величину и направление вектора Пойнтинга на поверхности провода предохранителя. Предохранитель перегорает, если он достигает точки плавления. Известно, что нагретый объект излучает энергию, мощность которой определяется законом $P=\sigma AT^4$, где $T$ — температура в градусах Кельвина, $A$ — площадь поверхности, а $\sigma=5.67\times 10^{-8}$ Вт/(м$^2$ $\cdot$ К$^4$) — постоянная Стефана-Больцмана. Если $T=500$ К — температура плавления материала предохранителя, имеющего удельное сопротивление $\rho=120$ нОм$\cdot$ м, а сила тока, при которой предохранитель перегорает, равна $I=5$ А;
8. Каким должен быть радиус провода, из которого изготовлен предохранитель?