Областная олимпиада по физике 2016, 10 класс, теоретический тур

Для торможения при посадке космический аппарат выпускает тормозной парашют, благодаря которому ускорение торможения оказывается пропорциональным квадрату скорости с коэффициентом пропорциональности $\beta=0,02$ м$^{-1}$. При уменьшении начальной посадочной скорости $\vartheta_0=240$ м/с в $100$ раз включаются тормозные двигатели, и аппарат мгновенно останавливается. Найти время и путь торможения, а также среднюю скорость движения при посадке. (6 баллов)

Комментарий/решение

С одной стороны ускорение есть первая производная скорости по времени

$$a=\dfrac{dv}{dt}$$

С другой- по условию имеем

$$a=-\beta \cdot v^2$$

Окончательно

$$\dfrac{dv}{dt}=-\beta \cdot v^2$$

Разделим переменные (сейчас диффуры проходят в школе, я их изучил только в университете)

$$\dfrac{dv}{v^2}=-\beta dt$$

Интегрируем

$$\int \dfrac{dv}{v^2}=-\int \beta dt$$

Интегралы табличные, поэтому привожу только конечный результат

$$-\dfrac{1}{v}=-\beta t-C$$

Выразим скорость

$$v(t)=\dfrac{1}{\beta t+C}$$

Начальные условия: $v(0)=240$. Зная это, находим С

$$v(0)=\dfrac{1}{\beta \cdot 0+C}\Rightarrow C=\dfrac{1}{240}$$

Окончательно выражение для скорости

$$v(t)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{240}+0.02 \cdot t}$$

Пункт 1. Найти время пути.

Известна конечная скорость пути

$$v_{end}=\dfrac{240}{100}=2.4$$

Приравняем общее выражение $v(t)$ к $v_{end}$

$$\dfrac{1}{\dfrac{1}{240}+0.02\cdot t}=2.4$$

Получаем $t=20.625$

Пункт 2. Путь торможения

$$S=\int \limits_{t_1}^{t_2}{v(t)dt}=\int \limits_{0}^{20.625}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{240}+0.02 \cdot t}dt}=230.259$$

Пункт 3. Средняя скорость движения

$$V_{sr}=\dfrac{S}{t}=\dfrac{230.259}{20.625}=11.164$$