Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Докажите неравенство $1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot \dots \cdot 1998^{1998} > (1998!)^{\tfrac{{1999}} {2}} $.

Комментарий/решение

По неравенству между средним геометрическим и средним гармоническим, имеем: $$1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot \ldots \cdot 1998^{1998} > \left(\dfrac{1+2+ \ldots +1998}{\dfrac{1}{1}+2\cdot\dfrac{1}{2}+\ldots+1998\cdot\dfrac{1}{1998}}\right)^{1+2+\ldots+1998}=\left(\dfrac{1999}{2}\right)^{\dfrac{1999\cdot1998}{2}}$$ По неравенству между средним арифметическим и геометрическим: $$\left(\dfrac{1999}{2}\right)^{1998} = \left(\dfrac{1+2+\ldots+1998}{1998}\right)^{1998}>1\cdot2\cdot\ldots\cdot1998=1998!$$ Это неравенство эквивалентно: $$\left(\dfrac{1999}{2}\right)^{\dfrac{1999\cdot1998}{2}}>(1998!)^{\dfrac{1999}{2}}$$ Из этих двух неравенств получаем требуемое.

Вы неправильно написали неравенство для гармонического.Степень корня не является; 1+2+,,,,

, так как у каждого числа разная степень.

Правильно же : $ GM(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ..., 1998) > HM(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ..., 1998) $

я про степень выражения

когда вы возвели в степень гармоническое

там у каждого числа разная степень

а вы возвели в степень сумму степеней чисел

Так и не понял. $GM \geq HM$, гласит, что: $$a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n} \geq \left(\dfrac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\ldots +\frac{1}{a_{n}}}\right)^n$$

Я подставляю $a_{1} = 1, a_{2} = a_{3} = 2, a_{4} = a_{5} =a_{6} = 3, a_{7} = a_{8} = a_{9} = a_{10} = 4$ и так далее. Получу то, что написано в первой строке. В чем проблема?