Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс


Число 2401 представлено в виде суммы двадцати пяти целых положительных чисел. Какое наименьшее значение может иметь наименьшее общее кратное этих двадцати пяти чисел?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2019-11-14 22:54:12.0 #

Есеп шарты бойынша

b1+b2+b3+...b25=2401 (1)

Бұл жердегі сандар индекс боп табылады.

Ең кіші ортақ еселік мынаған тең

А=а1×b1=a2×b2=....=a25×b25

Бұл жердегі а және b сандары натурал сандар. b-ларды өрнектеп алып, (1) теңдеуге қоямыз сонда

(А/а1)+(А/а2)+....(А/а25)=2401

А-ны жақша сыртына шығарамыз

А[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]=2401

А=2401/[(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)]

2401=7×7×7×7 тең болады

Бізге А-ның ең кіші мәнін табу керек. Бірақ 1/а -дан ең көп дегенде 1 шығады. Олай болса:

(1/а1)+(1/а2)+...(1/а25)<=25 (2)

А-бізде натурал сан болғандықтан (2) ші теңсіздіктен 2401-ге бөлінетін натурал сан керек. Жоғарыда айтып өткендей 2401=7×7×7×7

Онда (2)теңсіздіктен 7нің еселігі болу керек. Біздің білетініміз бойынша бұл сан 25ден кіші. Ол 21;14;7 болу мүмкін. Бірақ 21;14 сандары 2401ге бөлінбейтін болғандықтан (2)ші теңдеу 7ге тең. Олай болса

А=(7×7×7×7)/7=7×7×7

Жауабы: А-ның мәні жетінің кубы

  0
2020-10-05 13:55:05.0 #

Решение неверное, 1/а1)+(1/а2)+...(1/а25) не обязано быть целым