Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Пусть $d_1$, $d_2$ — делители числа $n$ ($d_1 \cdot d_2\neq n$). Докажите, что, если ${\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} \left( {{d_1},\frac{n}{{{d_2}}}} \right) = {\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} \left( {{d_2},\frac{n}{{{d_1}}}} \right)$, то $d_1=d_2$.

Комментарий/решение

d1>d2

болған кезде, ЕҮОБ1> ЕҮОБ2

Сәйкесінше, d1<d2

болған кезде, ЕҮОБ1< ЕҮОБ2.

Ал d1=d2

ЕҮОБ1= ЕҮОБ2 болу керек.

Есеп шартында ЕҮОБ1= ЕҮОБ2 деп көрсетілген болатын. Сол себептен d1=d2.

d1*d2≠n => n=d1*d2*k

НОД(d1, n/d2)=НОД(d2, n/d1) => НОД(d1, d1*k)=НОД(d2, d2*k) => d1=d2