Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Докажите, что не существует натуральных чисел $l$, $m$, $n$, удовлетворяющих уравнению: $n^2+m^3=m^l$.

Комментарий/решение

n$^2$=m$^l$-m$^3$

n$^2$=m$^3$(m$^l$/m$^3$-1) где m$^l$/m$^3$=m$^k$

n$^2$=m$^3$(m$^k$-1)

n$^2$=m$^3$b

b делится на m, так как иначе n$^2$$\ne$m$^3$(m$^k$-1) (m нужно возвести в четную степень). Но b=(m$^k$-1) никак не делится на m. Только при m=1. Тогда n=0, а n у нас натуральное число.Противоречие.

Почему $n^2= m^{2b}$? Да, $n^2$ делится на $m^3$, может быть $n^2=m^{3}b$. Но тогда твое решение не правильно.

Выше указано правильное решение задачи. Спасибо за замечание, Абен..

Предположим что существуют такие натуральные $l, m, n$, что $n^2 + m^3 = m^l$. Пусть $k = l - 3.$ Так как $n$ натуральное, то $k$ также натуральное. Тогда $n^2 = m^3(m^k - 1)$. Так как $k>0$, то НОД$(m^3, m^k - 1) = 1$, значит $m^3$ и $m^k-1$ оба являются полными квадратами (очевидно). Тогда $m$ является полным квадратом (также очевидно), следовательно, любая натуральная степень $m$ будет полным квадратом. Но это значит, что два последовательных числа $m^k - 1$ и $m^k$ являются точными квадратами, а такое возможно только если $m^k - 1 = 0$, но в этом случае $n = 0$ $-$ противоречие.