Областная олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

На диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ произвольным образом выбрана точка $M$. Пусть $O_1$ и $O_2$ центры окружностей, описанных около треугольников $AMD$ и $CMD$, соответственно. Докажите, что $AO_1$ перпендикулярно $CO_2$.

Комментарий/решение

Нетрудно догадаться что AO$_1$, DC и описанная окужность около треугольника AMD пересекаются в одной точке, так как $\angle$ ADC=90$^\circ$. Обозначим точку их пересечения как K. Следовательно AD, MK и СO$_2$ пересекаются в одной точке, в точке P(P лежит на описанной окружности около треугольника DMC). $\angle$ MAO$_1$=$\angle$ MDC=$\angle$MPC. Следовательно точки A,M,P и точка пересечения AO$_1$ и СO$_2$ лежат на одной окружности, то есть, $\angle$AMP=$\angle$AVP(где точка V - точка пересечения прямых AO$_1$ и CO$_2$)=90$^\circ$

Пусть $K \in AO_1 \cap CO_2$, $\angle DCK=\alpha$, тогда $\angle DMC=\frac{360°-(180°-2\alpha)}{2}=90°+\alpha$, $\Rightarrow \angle DMA=90°-\alpha, \Rightarrow \angle DAK=\frac{180°-(180°-2\alpha)}{2}=\alpha$, $$\angle DAK=\angle DCK=\alpha, \Rightarrow A, D, K, C \in \omega,$$ тогда $\angle ADC=\angle AKC=90° $